深度学习的数学原理-复杂函数求导的链式传递及多变量近似公式
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前言
前文中对导数、偏导数已经有了概念并能进行简单计算，本篇主要介绍单变量和多变量的复合函数如何求导，以及近似公式的计算
正文
复杂函数求导
如果一个函数比较复杂，无论是用公式也好，还是用导数的定义强算也好，都比较麻烦，于是书中又介绍了关于复合函数的快速求导方法（高中数学知识），以及扩展了多变量复合函数的链式法则。
神经网络中的复合函数
这里又祭出那个十分熟悉的公式
w1, w2, …, wn为各输入对应的权重，b为神经单元的偏置。输出函数是如下的x1, x2, …, xn的一次函数f和激活函数a的复合函数。
可以把这个函数看为两个函数的复合函数
单变量复合函数链式法则
当已知 y = f(u) u = g(x) ，其导数可以依照下方所示的公式进行计算
仅看公式可能看不太明白，可以看一下书中的例题，例题中的符号有点难打，就直接贴图了。
多变量函数链式法则
多变量函数的偏导数求导，也有一个链式法则。
比如变量 z为u、v的函数 ，如果 u、v分别为x、y的函数 ，则z为x、y的函数， z关于x求导 时，先对 u、v求导 ，然后 与z的相应导数相乘 ，最后将乘积加起来。
函数的近似公式
个人看下来，觉着作用是减少计算机计算量，书中强调这是梯度下降法的基础；
单变量函数的近似公式
根据导数公式，Δx->0 的时候，解出来的式子就是其一阶导数，如果Δ的值很小，那么下面的式子是成立的
此时，将 f(x+Δx) 转换出来，就成了下面这个样子，这个式子就叫做 单变量函数的近似公式
那么这个式子有什么用处呢？通过一个栗子来看一下
当f(x)=ex时，求x=0附近的近似公式。
根据公式可以得到如下的结果：
取 x = 0，再将Δx换成X，可得到
e^x = 1+x
在图形中有这样的含义，意思是 x=0 的时候 e^x 与 1+x 的结果相似：
多变量函数的近似公式
这个公式可能比较好理解，但是不大好推导，x和y分别变化一个较小的数，其结果与 f(x, y) + x的偏导数 Δx + y的偏导数 Δy 近似相同
可以通过书中的一个例子来理解这个公式
举个例子：当z=e^(x+y)时，求x=y=0附近的近似公式
f(x+Δx, y+Δy) = e^(x+y) + e^(x+y)*Δx + e^(x+y)*Δy = e^(x+y)*(1+Δx+Δy)带入 x+y = 0，并将 Δx 换为 x ，Δy 换成 y 即可
1 + x + y
书中还提到了简化多变量函数近似公式的方法，首先有个 Δz 定义为x和y同时进行一个很小的变化与原函数值的差值
那么根据公式以及上述定义进行一下变换，可以得到
再对变量数量进行推广
有没有很眼熟，是不是很像向量的内积，所以书中又提到了这个公式可以用向量内积的形式体现
总结
主要介绍了单变量和多变量复合函数求导，还有单变量和多变量的近似公式及其向量内积表示，为日后梯度下降的学习打下基础。
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