Logistic Regression

本文简单介绍一下Logistic Regression的定义和原理。对于(Linear Regression)线性回归模型，输入$x$，网络参数为$w$和$b$，输出值为$y$，是个连续值。但是分类问题最终的输出值应该为离散的，那么如何转化为分类问题呢？
可以考虑增加一个$\sigma$函数，变为$y=\sigma(wx+b)$，这个$\sigma$也叫sigmoid函数或logistic函数
这样输出的值就能压缩到$[0,1]$，我们可以将这个值等效为probability
对于Regression问题，其目标是使pred（预测值）近似于输出的$y$值，即$minimize\ dist(pred,y)$
对于Classification问题，其目标是$maximize\ accuracy$，或者说$minimize\ dist(p_\theta(y|x), p_r(y|x))$
两者最主要的区别是traning的目标不同
这里可能会有疑问，why not maximize accuracy？
因为一般acc的计算公式为：$\frac{预测对的数量}{总的数量}$
$$
acc = \frac{\sum I(pred = y_i)}{len(Y)}
$$
对于一个二分类问题，我们假设阈值为0.5，即$pred>0.5$，我们认为是第一类，$pred<0.5$，我们认为是第二类。一开始肯定会有分类不正确的，假设真实类别为1，预测值为0.4，则网络将其归为0这一类，在网络更新后，预测值变大为0.45，虽然更加靠近1，更加接近真实值，但是由于没有发生本质的变化，即没有大于0.5
再比方说，假如一开始一个预测值为0.499，真实类别为1，网络更新后，预测值变为0.501，预测正确了，但是计算梯度时，可能会导致梯度非常非常大，甚至不连续
上面两个问题总结起来就是：

• issues 1. gradient = 0 if accuracy unchanged but weights changed
• issues 2. gradient not continuous since the number of correct is not continuous

最后一个问题，why call logistic regression？
logistic好理解，因为使用了$\sigma$函数，但是为什么叫regression，而不是classification呢？这个问题的解答网上有很多争议，其中一个解释是说，因为一开始做classification的时候，用的就是MSE，所以叫做regression（解决regression问题常用的loss就是MSE），但是现在解决classification问题用的是Cross Entropy，只不过叫法以及被大家习惯了，所以没改

• MSE => regression
• Cross Entropy => classification