跳表(SkipList)数据结构介绍
使用场景
跳表(Skiplist)是一个特殊的链表,相比一般的链表,有更高的查找效率,可比拟二叉查找树,
平均期望的
查找、插入、删除时间复杂度都是O(logn),许多知名的开源软件(库)中的数据结构均采用了跳表这种数据结构。
- Redis中的有序集合zset
- LevelDB、RocksDB、HBase中Memtable
- ApacheLucene中的TermDictionary、Posting List
跳表结构描述
跳表可视为水平排列(Level)、垂直排列(Tower)的位置(Position,对Entry的访问抽象)的二维集合。每个Level是一个列表Si,每个Tower包含存储连续列表中相同Entry的位置,跳表的各个位置可以通过如下方式进行遍历。
- After(P):返回和P在同一Level的后面的一个位置,若不存在则返回NULL。
- Before(P):返回和P在同一Level的前面的一个位置,若不存在则返回NULL。
- Below(P):返回和P在同一Tower的下面的一个位置,若不存在则返回NULL。
-
Above(P):返回和P在同一Tower的上面的一个位置,若不存在则返回NULL。
有顺序关系的多个Entry(K,V)集合M可以由跳表实现,跳表S由一系列列表{S0,S1,…,Sh}组成,其中h代表跳表的高度。每个列表Si按Key顺序存储M项的子集,并额外增加两个特殊键,分别是-∞和+∞,其中-∞小于M中的每个键,+∞大于M中的每个键。此外,S中的列表满足以下要求(
不同实现版本要求会有不同
)。
- 列表S0包含集合M的每个Entry(加上带有键-∞和+∞的特殊Entry)。
- 对于i=1,…,h−1,列表Si包含(包括-∞和+∞)列表Si−1中Entry的随机生成子集。
- 列表Sh只包含-∞和+∞。
Si中的Entry是从Si-1中的Entry集合中随机选择的,对于Si-1中的每个Entry,以1/2概率来决定是否需要拷贝到Si中,我们期望S1有大约n/2个Entry,S2有大约n/4个Entry,Si 有n/2 ^i。跳表的高度h大约是logn。从一个列表到下一个列表的Entry数减半并不是跳表的强制性要求,相反借助随机函数来达成。
查找算法
SkipSearch(k): 输入:Search Key 输出:最底层列表S0中的位置p, 在S0所有小于等于k的Entry集合中,p对应Entry的Key是最大的。 p <-StartPosition of S while Below(p) != NULL { p <- Below(p) // 沿着Tower往下走 while k >= key(After(p)) { p <- After(p) // 沿着Level往前走 } } return p
Find(k): 输入:Search Key 输出:对应key的位置,若没有找到则返回NULL p <-SkipSearch(K) If key(p) == K then: return p else then return null
插入算法
往跳表中增加Entry44的流程:
- 找到底层列表(S0)中39的位置,在其后插入Entry44。
- 假设随机函数取值为1,接着回到38的位置,在其后插入Entry44,并和底层列表S0中的Entry44连接起来形成Entry44的Tower。
- 假设随机函数取值为0,则插入过程终止。
Insert(K,V): 输入:K,V 输出:新Entry(K,V)在这个跳表的最高位置 p <-SkipSearch(K) q <- NULL e <- (K,V) i <- -1 repeat i <- i + 1 if i >= h then // h代表跳表的高度 // 跳表增加一个Level,紧接着三句用于在新增的Level插入两个特殊Entry:(−∞, null ), (+∞, null) h <- h + 1 t <- After(s) // s代表跳表的当前起始位置 s <- InsertAfterAbove(null, s, (−∞, null )) InsertAfterAbove(s, t, (+∞, null)) //在位置p(同一Level)之后和位置q之上插入e的位置,返回e的位置 q <- InsertAfterAbove(p, q, e) // 往新Entry的Tower上面增加一个位置 while Above(p) == NULL do p <- Before(p) // 沿着Level往回走 p <- Above(p) // 沿着Tower往上走 until random() ==0 // 0代表停止, 1代表继续。 n <- n + 1 // n代表跳表的元素总数。 return q
删除算法
删除Entry25的流程
找到底层列表(S0)中25的位置,并将Entry25的整个Tower删除掉。调整前后元素的指针关系。
Erase(K): 输入:K 输出:void p <-SkipSearch(K)// 返回跳表中底层队列S0中最大的一个小于等于K的Entry的位置。 if Key(p) != K then// 没有找到对应的元素,直接返回。 return repeat q <- Before(p) r <- After(r) modifyBeforeAfterPointer(q, r)// 调整q的后向指针和r的前向指针 temp <- p p <- Above(p)// 沿着Tower往上走 delete temp until p == NULL //清除无任何数据的层 t <- Below(s) // 保留最上层的-∞ 和+∞ ,s代表跳表的起始点位置,即头结点。 while t != NULL && Key(After(t)) == +∞ && h > 0 do q <- t r <- After(t) t <- Below(t) h <- h – 1 delete q , r
高度控制策略
跳表高度控制的策略,有如下两种:
-
限制最大高度:
插入算法中限制跳表的最大高度,h=max{10,3* RoundUp(logn)},当超过最大高度的时候,即使随机函数值为1也不能继续在Tower上Append Entry了。边界情况,当RoundUP(logn)
-
不限制最大高度:
插入算法中不限制跳表的最大高度,以随机函数的值来确定是否继续在Tower上Append Entry。(后面会给出高度>log(n)的概率推导,概率是非常低的,所以这种方法也能Work)
时间与空间分析
最坏场景
当每个元素的Tower的高度都是h的时候,查找、插入、删除的性能最差,为O(n+h),n为跳表的元素数目,h为跳表高度。
从这一点看,跳表没有红黑树稳定
。
跳表高度推导
-
P(Entry的Tower的高度i)= P(连续i次随机数取值为1) = 1 / 2^i,其中P代表概率,
i >= 1。
-
P(Leveli 至少有1个元素) <= n / (2^i),n为跳表元素个数。
-
P(跳表高度大于i)
= P(Leveli至少有1个元素) 。
-
假设跳表高度为3logn,则P(h>3logn) <= n / (2^3logn) = 1/(n^2),假设跳表元素有1000个,则P(h > 3logn)是百万分之一,反过来,有极大概率保证跳表的高度小于等于3logn,故h = O(logn)
查找时间推导(插入、删除
类似)
-
查找包括两个循环,外层循环是从上层Level至底层Level,内层循环是在同一个Level,从左到右。
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因跳表高度以
极大概率
为O(logn),所以外层循环的次数以极大概率为O(logn)。
-
在上层查找比对过的key,不会再下层再次查找比对,任意一个Key被查找比对的概率是1/2,因此内层循环的比对次数的期望约等于2,即O(1)。
-
最终查找的时间=O(1)*O(logn),也即O(logn)。
空间占用推导