网络权重初始化方法总结（上）：梯度消失、梯度爆炸与不良的初始化

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前向传播与反向传播回顾

神经网络的训练过程可以简化成以下步骤，

1. 输入预处理（feature scaling等）
2. 初始化网络weight和bias
3. 前向传播，得到网络输出
4. 计算损失函数，得到当前损失
5. 反向传播，根据链式法则，逐层回传得到损失函数对当前参数的偏导，根据梯度下降算法对当前参数进行更新
6. 重复步骤3 4 5，直到损失不再减小，即收敛

一个简单的前向传播和反向传播的示意图如下，线性组合和非线性激活交替进行，线性组合层可以为全连接层或卷积层等，图片来自 链接 ，

仔细观察上式，偏导为一串因子的乘积，因子中的每一项对乘积结果都有影响，有几点需要注意，回传时，

• 每个权重的偏导中含有一个共同的因子项，为 损失函数对网络输出的偏导
• 每经过一个激活层，就有一个 激活函数偏导 作为因子项，如 \(\sigma'(z^L)=\frac{\partial a^L}{\partial z^L}\)
• 对当前线性组合层的权重求偏导，含且只含一个 当前层的输入（前一层的输出） 作为因子项，如 \(a^{L-1}\)
• 每经过一个线性组合层（全连接层or卷积层），就有一个 权重矩阵 作为因子项，如 \(w^L\)

所以，激活函数的偏导、权重矩阵、当前层的输入（前一层的输出），这些项的取值均会对偏导数产生影响，偏导数为这些因子项共同作用的结果，特别地，

• 若激活函数偏导为0，则权重偏导为0；
• 若前一层的输出（当前层输入）为0，则当前层权重的偏导为0；
• 若后一层的权重 \(w^L\) 为0，则当前层权重的偏导 \(\frac{\partial C}{\partial {w^{L-1}}}\) 为0；

直觉上，因子项连乘可能隐含潜在的问题： \(0.25^{10} = 0.00000095367431640625\) ， \(2^{10}=1024\) 。对于现在动辄几十、成百、上千层的网络， 这些因子项的取值范围极大地影响着权重偏导的结果：小了，经过连续相乘，结果可能接近于0，大了，结果可能超过数据类型的上界。 同时，网络的深度让这个问题指数级地放大了。

梯度消失与梯度爆炸

梯度为偏导数构成的向量。

损失函数收敛至极小值时，梯度为0（接近0），损失函数不再下降。 我们不希望在抵达极小值前，梯度就为0了，也不希望下降过程过于震荡，甚至不收敛。 梯度消失与梯度爆炸分别对应这2种现象，

梯度消失(vanishing gradients)：指的是在训练过程中，梯度（偏导）过早接近于0的现象，导致（部分）参数一直不再更新，整体上表现得像损失函数收敛了，实际上网络尚未得到充分的训练。

梯度爆炸（exploding gradients）：指的是在训练过程中，梯度（偏导）过大甚至为NAN（not a number）的现象，导致损失剧烈震荡，甚至发散(divergence)。

由上一节的分析可知，在梯度（偏导）计算中，主要的影响因素来自 激活函数的偏导 、当前层的输入（前一层的输出）、以及 权重的数值 等， 这些因子连续相乘，带来的影响是指数级的 。训练阶段， 权重在不断调整 ，每一层的输入输出也在不断变化， 梯度消失和梯度爆炸可能发生在训练的一开始、也可能发生在训练的过程中 。

因子项中当前层的输入仅出现一次，下面着重看一下激活函数和权重的影响。

激活函数的影响

以Sigmoid和Tanh为例，其函数与导数如下（来自 链接 ），

两者的导数均在原点处取得最大值，前者为0.25后者为1，在远离原点的正负方向上，两者导数均趋近于0，即存在饱和区。

• 原点附近 ：从因子项连乘结果看， Tanh比Sigmoid稍好 ，其在原点附近的导数在1附近， 如果激活函数的输入均在0左右，偏导连续相乘不会很小也不会很大 。而sigmoid就会比较糟糕，其导数最大值为0.25，连续相乘会使梯度指数级减小，在反向传播时，对层数越多的网络，浅层的梯度消失现象越明显。
• 饱和区 ：一旦陷入饱和区，两者的偏导都接近于0，导致权重的更新量很小，比如某些权重很大，导致相关的神经元一直陷在饱和区，更新量又接近于0，以致很难跳出或者要花费很长时间才能跳出饱和区。

所以，一个改善方向是选择更好的非线性激活函数，比如ReLU，相关激活函数如下图所示，

ReLU只在负方向上存在饱和区，正方向上的导数均为1，因此相对更少地遭遇梯度消失，但梯度爆炸现象仍然存在。

权重矩阵的影响

假设激活函数为线性，就像ReLU的正向部分，导数全为1。则一个简化版本的全连接神经网络如下图所示，

如果网络初始化时，权重矩阵过小或过大，则在网络训练的初始阶段就可能遭遇梯度消失或梯度爆炸，表现为损失函数不下降或者过于震荡。

不良初始化

至此，一些权重不良初始化导致的问题就不难解释了，

• 过小，导致梯度消失

• 过大，导致梯度爆炸

• 全常数初始化，即所有权重 \(W\) 都相同，则 \(z^{(2)}=W^1 x\) 相同，导致后面每一层的输入和输出均相同，即 \(a\) 和 \(z\) 相同，回到反向传播的公式，每层的偏导相同，进一步导致每层的权重会向相同的方向同步更新，如果学习率只有一个，则每层更新后的权重仍然相同，每层的效果等价于一个神经元，这无疑极大限制了网络的能力。

  

• 特别地， 全0初始化 ，根据上式，如果激活函数 \(g(0) = 0\) ，如ReLU，则初始状态所有激活函数的输入 \(z\) 和输出 \(a\) 都为0，反向传播时所有的梯度为0，权重不会更新，一直保持为0；如果激活函数 \(g(0) \neq 0\) ，则初始状态激活层的输入为0，但输出 \(a\neq 0\) ，则权重会从最后一层开始逐层向前更新，改变全0的状态，但是每层权重的更新方向仍相同，同上。

这几种权重初始化方法对网络训练过程的影响，可在 Initializing neural networks 进行可视化实验，可观察权重、梯度和损失的变化，美中不足的是隐藏层的激活函数只有ReLU，不能更换为Sigmoid、Tanh等，如下所示，

话说回来，所以我们需要好的网络初始化方法，以对反向传播过程中的梯度有所控制。对反向传播中梯度加以控制的方法，不止这里提到的损失函数和权重初始化，还有梯度截断（gradient clipping）、网络模型设计方面等方法，因为本文的重点在于权重初始化，对此按下不表。

那么，合适的网络初始化方法是什么呢？我们下回分解。

参考

• Initializing neural networks
• Deep Learning Best Practices (1) — Weight Initialization
• Complete Guide of Activation Functions
• Vanishing gradient problem
• deep learning book – optimization
• Danger of setting all initial weights to zero in Backpropagation