用函数式的方式思考——递归

在我们初学函数的时候，函数通常被描述为能独立完成一个功能的单元，并且通常以命令式的方式出现：

function fact(n: number):  number {  
    let result = 1;
    for (let i = 0; i <= n; i += 1) {
        result *= i;
    }
    return result;
}

代码是在操作数据，把一种形式的数据编程另一种形式。抽象的数据是一种数据，而显示在屏幕上的位图也是一种数据，当然必要的时候我们也可以把函数视作数据。我们可以得到一个数据到界面的映射关系，就像React提倡的那样：

Model -> View

或者用函数的形式

View = f(Model)

现在我们不讨论React，只讨论函数本身。我们可以把函数，特别是纯函数，看作是数据的映射关系的具体形式。

举个例子，根据幂的递推公式 a[n] = a * a[n -1] ，我们可以很容易得到一个求幂的函数：

function exp(a: number, n: number) {  
    return a * exp(a, n - 1);
}

这个函数很简洁，但是会招来担忧。首先它做了 n 次函数调用，会有大量函数调用的开销；其次，它还有爆栈的风险。

于是，我们回到递推公式上来。首先我们得到这样一个映射关系： a * a[n - 1] -> a[n] 那么显然，幂的实现应该是这样一个函数，其中 prev 就是 a[n - 1] ：

function expImpl(a: number, prev: number): number;

这里还缺少一个递归的终止条件，我们把它加上：

function expImpl(a: number, prev: number, i: number, n: number): number;

当然，实现也很简单：

function expImpl(a: number, prev: number, i: number, n: number): number {  
    if (i >= n) {
        return prev;        
    }
    return expImpl(a, a * prev, i + 1, n);
}

function exp(a: number, n: number) {  
    return expImpl(a, 1, 0, n);
}

我们还可以做一个简单的优化，去掉一个变量：

function expImpl(a: number, prev: number, i: number) {  
    if (i <= 0) {
        return prev;
    }
    return expImpl(a, a * prev, i - 1);
}

function exp(a: number, n: number) {  
    return expImpl(a, 1, n);
}

这两个函数直接返回了另一个函数的执行结果，这种情形称为尾调用。而 expImpl 恰好是个递归函数，这就构成了一个尾递归。现代的编译器都足够聪明，能够将其优化成等价的循环形式：

function exp(a: number, n: number) {  
    let i = n;
    let ret = 1;
    while (i > 0) {
        ret = ret * a;
        i--;
    }
    return ret;
}

于是，我们的递归版本可以视作空间复杂度为O(1)时间复杂度为O(n)。可惜的是，现代浏览器中只有Safari实现了这种优化。 我们假定执行环境支持尾递归优化。根据数学上幂的定义，当n为偶数，我们有 (a^(n / 2))^2 =(a ^ 2) ^ (n / 2) 。根据这个等式，我们可以得到计算幂递归的对数时间版本（当然，以及它等价的循环版本）：

function fastExpImpl(a: number, prev: number, i: number) {  
    if (i <= 0) {
        return prev;
    }
    if (i % 2 === 0) {
        return expImpl(a * a, prev, i / 2);
    }
    // 这里还可以做个小优化 expImpl(a * a, a * prev, (i - 1) / 2);
    return expImpl(a, a * prev, i - 1);
}

function fastExp(a: number, n: number) {  
    return expImpl(a, 1, n);
}

用映射的思维，我们来讨论下老朋友，斐波那契数列。初学递归都能写出这样一个简单的递归版本：

function fib(n: number): number {  
    if (n <= 2) {
        return 1;
    }
    return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

显然，这不是一个优秀的实现。这里做了大量的重复计算，同时有爆栈的风险。 根据斐波那契数列的递推公式，我们可以得到这样一个关系：

a[n - 2] + a[n - 1] -> a[n]

因此这个函数应该是这样的，其中 a 代表 a[n - 1] ， b 代表 a[n - 2] ：

function fibImpl(a: number, b: number): number;

这里还缺少递归的终止条件：

function fibImpl(a: number, b: number, i: number, n: number): number;

当然，和计算幂的时候一样，我们可以优化掉一个参数，于是得到了一个简单的空间复杂度为O(1)，时间复杂度为O(n)的递归版本：

function fibImpl(a: number, b: number, i: number): number {  
    if (i <= 1) {
        return a;
    }
    return fibImpl(a + b, a, i - 1);
}

function fib(n: number): number {  
    return fibImpl(1, 0, n);
}

以及等价的循环版本：

function fib(n: number): number {  
    let a = 1;
    let b = 0;
    let i = n;
    while (i > 1) {
        a = a + b;
        b = a;
        i--;
    }
    return a;
}

在这个版本中，我们有这样一组变换规则：

a <- a + b  
b <- a

我们称之为T变换。通过观察可以发现，从1和0开始将T反复应用 n 次将产生出一对数 Fib(n+1) 和 Fib(n) 。换句话说，斐波那契数可以通过将 T(n) （变换T的n次方）应用于对偶 (1, 0) 而产生出来。现在将T看作是变换族 T(p, q) 中 p = 0 且 q = 1 的特殊情况，其中 T(p, q) 是对于对偶 (a, b) 按照 a <- bq + aq + ap 和 b <- bp + aq 规则的变换。请证明，如果我们应用变换 T(p, q) 两次，其效果等同于应用同样形式的一次变换 T(p', q') ，其中 p' 和 q' 可以由 p 和 q 计算出来。这样，就像 fastExp 一样，我们可以得到一个空间复杂度为O(1)，时间复杂度为O(log n)的斐波那契数列函数。这是《计算机程序的构造和解释》的练习1.19，你可以自行完成这个过程。

通过对老朋友斐波那契数列的思考，我们发现，通过函数式的方式思考可以有效的简化问题，从而得到一个简单的递归版本。当我们的执行环境不具备自动优化尾调用的时候，在必要的情况下，我们可以很容易的手动把它优化为一个等价的循环形式。这就是函数式思维带来的优势。

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