树与树的表示

一、什么是树

客观世界中许多事物存在层次关系

• 人类社会家谱
• 社会组织结构
• 图书信息管理

其中， 人类社会家谱 如下图所示：

通过上述所说的分层次组织，能够使我们在数据的管理上有更高的效率！那么，对于数据管理的基本操作——查找，我们如何实现 有效率的查找 呢？

二、查找

查找： 根据某个给定 关键字K ，从 集合R 中找出关键字与 K 相同的记录

静态查找： 集合中 记录是固定的 ，即对集合的操作没有插入和删除，只有查找

动态查找： 集合中 记录是动态变化的 ，即对集合的操作既有查找，还可能发生插入和删除（ 动态查找不在我们考虑范围内 ）

2.1 静态查找

2.1.1 方法1：顺序查找

/* c语言实现 */

int SequentialSearch (StaticTable *Tbl, ElementType K)
{
// 在表Tbl[1]~Tb1[n]中查找关键字为K的数据元素
  int i;
  Tbl->Element[0] = K; // 建立哨兵，即没找到可以返回哨兵的索引0表示未找到
  for (i = Tbl->Length; Tbl->Element[i] != K; i--); // 查找成功返回所在单元下标；不成功放回0
  return i;
}

顺序查找算法的时间复杂度为 O(n)

2.1.2 方法2：二分查找（Binary Search）

假设n个数据元素的关键字满足有序（比如： 小到大 ），即 \(k_1 ，并且是连续存放（ 数组 ），那么可以进行二分查找。

例：假设有13个数据元素，按关键字由小到大顺序存放。二分查找关键字为 444 的数据元素过程如下图：

仍然以上面13个数据元素构成的有序线性表为例，二分查找关键字为 43 的数据元素如下图：

/* c语言实现 */

int BinarySearch (StaticTable *Tbl, ElementType K)
{
  // 在表中Tbl中查找关键字为K的数据元素
  int left, right, mid, NoFound = -1;
  
  left = 1; // 初始左边界
  right = Tbl->Length; // 初始右边界
  while (left <= right)
  {
    mid = (left + right) / 2; // 计算中间元素坐标
    if (K < Tbl->Element[mid]) right = mid - 1; // 调整右边界
    else if (K > Tbl->Element[mid]) left = mid + 1; // 调整左边界
    else return mid; // 查找成功，返回数据元素的下标
  }
  return NotFound; // 查找不成功，返回-1
}

二分查找算法具有对数的时间复杂度 O(logN)

二分查找算法虽然解决了查找的时间复杂度问题，但是对于数据的插入和删除确是O(n)的，因此有没有一种数据结构，既可以减少数据查找的时间复杂度，又可以 减少数据的插入和删除的复杂度 呢？

三、二分查找判定树

除了使用上述两个方法进行关键字的查找，我们还可以通过二叉树这种数据结构完成关键字的查找。

从上图可以看出，如果我们需要寻找数字8，可以通过以下4步实现（ 可能看不懂，未来会看得懂 ）：

1. 根节点6小于8，往6的右子节点9找
2. 结点9大于8，往9的左子结点7找
3. 结点7小于8，往7的左子结点找
4. 找到8

• 判定树上每个 结点 需要的查找次数刚好为该结点所在的层数；
• 查找成功时 查找次数 不会超过判定树的 深度
• N个结点的判定树的深度为 \([log_2{n}]+1\)
• \(ASL = (4*4+4*3+2*2+1)/11 = 3\)

四、树的定义

树（Tree）： \(n(n\geq{0})\) 个结点构成的有限集合。

• 当n=0时，称为空树
• 对于任一颗 非空树（n>0） ，它具备以下性质：
  • 树中有一个称为 根（Root） 的特殊结点，用 r 表示
  • 其余结点可分为 m（m>0） 个 互不相交的 有限集 \(T_1,T_2,\cdots,T_m\) ，其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的 子树（SubTree）

五、树与非树

牢记树有以下3个特性：

1. 子树是 不相交 的；
2. 除了根结点外， 每个结点有且仅有一个父结点 ；
3. 一颗N个结点的树有 N-1条边

5.1 非树

5.2 树

六、树的一些基本术语

1. 结点的度（Degree）： 结点的 子树个数
2. 树的度： 树的所有结点中最大的度数
3. 叶结点（Leaf）： 度为0 的结点
4. 父结点（Parent）： 有子树的结点是其子树的根结点的父结点
5. 子结点（Child）： 若A结点是B结点的父结点，则称B结点是A结点的子结点；子结点也称 孩子结点

6. 兄弟结点（Sibling）： 具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点

7. 路径和路径长度： 从结点 \(n_1\) 到 \(n_k\) 的 路径 为一个结点序列 \(n_1 , n_2 ,\cdots, n_k\) , \(n_i\) 是 \(n_{i+1}\) 的父结点。路径所包含边的个数为 路径的长度

8. 祖先结点(Ancestor)： 沿 树根到某一结点路径 上的所有结点都是这个结点的祖先结点

9. 子孙结点(Descendant)： 某一结点的 子树中的所有结点 是这个结点的子孙

10. 结点的层次（Level）： 规定 根结点在1层 ，其它任一结点的层数是其父结点的层数加1

11. 树的深度（Depth）： 树中所有结点中的 最大层次 是这棵树的深度

七、树的表示

7.1 树的链表表示

上图所示树的链表表示法有很大的缺陷，假设树的深度非常大，并且不能保证所有树的子结点都有3个，那么会造成很大程度的浪费。

7.2 树的链表（儿子-兄弟）表示法

为了解决树的普通链表表示会有空间的浪费的缺陷，我们可以把链表的指针设置两个链接，一个链接指向儿子结点，另一个链接指向兄弟结点，如下图所示：

上图所示的树的表示方法，已经足够完美了，但是如果我们把链表表示的树 旋转45°角 ，会发现如下图所示：

经过45°角的旋转，我们会发现一颗二叉树（一个结点至多拥有2个子结点的树），也就是说 最普通的树其实可以通过二叉树表示 ，也就是说 我们只要把二叉树研究透了，我们即研究透了树 。