反向传播算法(BP)
下面对最简单的神经网络进行BP算法的公式推导:
下图是一个只有两个神经元的网络(图片修改自李弘毅老师的PPT),输入样本为一个二维的向量
,输出为一个数
,现在假设loss函数是
,那么要求的便是
以及
(把
和
合并成一个向量
也是可以的)。
图中,
表示sigmiod函数。
首先思考一下,这个导数如果让你计算应该怎么做呢?
因为loss函数里与
,
参数相关的就只有
了,而
由
得出,
由线性函数
得到…那自然会想到用chain rule来求导了。
整理一下思路:
那么求导如下:
这么求解貌似是可以的,however, 没有任何技巧可言,当网络结构有变化的时候,算法变的异常难写,比如:一层多个神经元的情况,两层之间非全连接的情况,某些神经元共享参数的情况等,想想都可怕,想要写个general的算法几乎不可能,另外还有计算量需要被考虑。
还好聪明人总是有的,考虑到
对
和对
求导过程其实是一样的,下面就仅介绍
对
的BP求导过程。
对于上面的问题,先只看第一层神经元的参数更新(其实对于任意层任意神经元都有下式的关系):
接下来分别计算
和
:
正向计算
:
从式(3)可以看出正向计算有个非常好的性质,
就是神经元的值,这都已经在正向传播时计算过了!
反向计算
:
这其中,
很简单,sigmiod求导就ok了,而且
,nice,又可以用现成的结果了。
而对于
的计算比较棘手了,因为:
其中
就是神经元间的连接权重参数,对于比较复杂的网络,计算
可以进行递归计算。如果被计算的
是神经网络的最后一层(output layer),问题就变的简单了:
结束了,,
再看一下 反向计算
:因为
比较好求,是一个常数,sigmoid函数在该神经元上的求导就得到了;
呢则可以使用递归方法,只要求出output layer的
就ok。从下图来看,就是input为
,然后按照同样的网络反方向计算一次,和正向传播的不同之处仅仅在于sigmoid(非线性转换/激活函数)变成先求导再相乘,结构清晰,计算量也大幅度下降。
最后总结一下: 正向传播
和 反向传播
相乘就可以计算出所有的参数更新梯度。
插句话:
神经网络中常用的优化算法是 随机梯度下降法
(SGD),实践中常用的是 adam
优化器(一种自适应步长/学习率的优化算法),理论上梯度下降做自适应步长也很简单,不过需要求Hessian矩阵,而对于上千万甚至上亿个参数的目标函数来说,计算量实在是太大了。
代码实现
这里对基础版的反向传播算法进行代码实现,代码来自 这里 ,你也可以点击 这里 进行查看。核心代码如下:
def feedforward(self, x): # 正向计算 # return the feedforward value for x a = np.copy(x) z_s = [] a_s = [a] for i in range(len(self.weights)): activation_function = self.getActivationFunction(self.activations[i]) z_s.append(self.weights[i].dot(a) + self.biases[i]) a = activation_function(z_s[-1]) a_s.append(a) return (z_s, a_s) def backpropagation(self,y, z_s, a_s): # 反向计算 dw = [] # dl/dW db = [] # dl/db deltas = [None] * len(self.weights) # delta = dl/dz known as error for each layer # insert the last layer error deltas[-1] = ((y-a_s[-1])*(self.getDerivitiveActivationFunction(self.activations[-1]))(z_s[-1])) # Perform BackPropagation for i in reversed(range(len(deltas)-1)): deltas[i] = self.weights[i+1].T.dot(deltas[i+1])*(self.getDerivitiveActivationFunction(self.activations[i])(z_s[i])) #a= [print(d.shape) for d in deltas] batch_size = y.shape[1] db = [d.dot(np.ones((batch_size,1)))/float(batch_size) for d in deltas] dw = [d.dot(a_s[i].T)/float(batch_size) for i,d in enumerate(deltas)] # return the derivitives respect to weight matrix and biases return dw, db
RNN怎么做BP
RNN的结构和 前馈神经网络
有所不同,反向传播和上述也略有不同,这里要介绍的算法叫做 Backpropagation Through Time (BPTT) 。这里假设读者对RNN、LSTM、GRU等算法已经有所了解了,就提纲挈领的介绍一下 BPTT
特别之处。
- 主要的不同点还是要看公式,RNN的在
时刻输出神经元的值可以用下式表示:式中
与上一时刻的计算结果相关 - 所以
的计算算是新内容,其他的和之前说的没有什么不一样 - 也可以认为就是结构上与前馈网络有所不同(如下图所示),对于每一个
都有一个loss,这里需要对每一个loss计算梯度,加起来就是整个需要更新的梯度了。
一个简单的many2many形式的RNN展开图,图片来自 这里 。