原始对偶角度下的几类优化方法

来源：最优化理论和一阶方法知乎专栏

链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/92230537

这篇文章介绍三个方法在原始角度和对偶角度下的形式，分别为：梯度方法（gradient descent method），临近点方法（proximal point method）以及临近梯度方法（proximal gradient method），感受下对偶的魅力。主要参考的是wotao yin的slide，有兴趣的可以看他的主页（ 链接： https://www.math.ucla.edu/~wotaoyin/index.html ）。

一、 共轭函数（conjugate function）

定义1（共轭函数）：

接下来我们分析下共轭函数的一些性质，这将会在对偶方法中的推导起到关键的作用。因为对偶问题中目标函数就是原问题目标函数的共轭形式。所以我们要研究一下共轭函数的次梯度，以及什幺情况下光滑。

在得到共轭函数次梯度前，我们需要下面这个定理：

定理1（conjugate subgradient theorem） :令函数 f 是convex proper and closed. 那幺下面三条对任意 x,y 等价

proof. （为了完整性，我给出证明，不想看的可以跳过，记住结论就行。）

二、Primal Perspective

2.1  Gradient descent method

考虑无约束优化问题

2.2  Proximal point method

当问题（1）中的函数可能不光滑的时候，我们可以用临近点方法 ，具体地，该方法有如下形式：

对目标函数求导，我们得到另外一个形式：

这个形式在对偶角度下需要用到 。

2.3  Proximal Gradient Method

考虑可分离凸问题：

这个算法有很多的变种，比如着名的FISTA。

三、Dual Perspective

下面我将首先得到原问题的对偶问题，然后利用上面提到的三个方法去求解，最后通过formulation，观察他们在转化到原始角度下是什幺样的形式。

3.1  Dual （sub）gradient descent method

考虑线性约束凸问题：

如果d是光滑的，那幺上式就为梯度下降。就这样结束了吗？并没有，虽然这样看起来很简洁，但问题是我们不知道d(y)这个函数的显式表达形式是什幺，甚至连是不是可微的也不知道，也就没有办法去求解它的梯度了。下面我来回答三个问题：

d(y)的表达形式是怎样的？

d(y)什幺时候是可微的？

d(y)的次梯度表达形式是怎样的？

首先我们发现d(y)可以表达为：

其次，我们知道当f是强凸的时候，它的共轭才会是光滑的，进一步d(y)才光滑。

对于最后一个问题，

3.2  Dual proximal point method

考虑上述的线性约束问题（6），这次我将PPA应用到对偶问题中，即

这也等价于增广拉格朗日方法（ALM）。所以我们有结论：

原始问题的ALM方法等价于对偶问题下的临近点方法

绕了半天，结果出来个已经存在的方法。

3.3  Dual proximal gradient method

考虑可分离线性约束问题 ：

首先（13）的拉格朗日函数为：

可以看到这个方法很像ADMM，差别就在于对于x子问题，ADMM用的是增广拉格朗日函数，而这个方法用的是拉格朗日函数。

四、总结

这里我只介绍了三种方法在对偶角度下的形式，事实上，任意的方法都可以用到对偶问题上，比如：

对偶问题下的 Douglas-Rachford splitting 方法等价于原始问题的 ADMM 方法

对偶问题下的 Peaceman-Rachford splitting 方法等价于原始问题的 对称ADMM 方法

有时候还会有意想不到的结果。比如我的另一篇文章（ 链接： https://zhuanlan.zhihu.com/p/92230537 ），就是将 ALM （增广拉格朗日方法）应用到对偶问题上，再结合稀疏结构，加速了计算。

参考文献

[1] A.Beck. First-order methods in optimization[M]. SIAM, 2017.

[2] Splitting methods in communication, imaging, science, and engineering[M]. Springer, 2017.

[3] Y.Chen. Large-Scale Optimization for Data Science，ELE522，lecture notes，Princeton University

[4] L. Vandenberghe. Optimization methods for large-scale systems, EE236C lecture notes,UCLA.

[5] Ryu E K, Boyd S. Primer on monotone operator methods[J]. Appl. Comput. Math, 2016, 15(1): 3-43.

[6]  https://www.math.ucla.edu/~wotaoyin/index.html