函数式编程的基石 —— Lambda Calculus（Functional Programming）

Y 组合子函数

• Lambda calculus ： λ 定义

Lambda calculus我们一般称为λ演算，最早是由邱奇（Alonzo Church，图灵的博导）在20世纪30年代引入，当时的背景是解决函数可计算的本质性问题，初期λ演算成功的解决了在可计算理论中的判定性问题，后来根据Church–Turing thesis，证明了λ演算与图灵机是等价的。

通过 lambda , currying, closure, alpha, beta 可以定义出一个”完备”的计算体系.

在此之上,我们可以构造出任意复杂的程序.

在lambda演算中，函数是一等公民。可以把函数作为参数传入或返回，把函数赋值给一个变量等等。

要描述一个形式系统，我们首先需要约定用到的基本符号，对于本系列所介绍的lambda演算，其符号集包括 λ   .   () 和变量名( x, y, z, etc. )。

1. λ 表达式/项

 ::=  
          | 
          | ( )
          | (λ .)

其中：

可以是诸如0、1这样的数字，或者预定义的函数: +、-、*等。

是x、y等这样的名字。

( )表示函数调用。 左边的为要调用的函数，右边的为参数。

(λ .)被称为lambda抽象(lambda abstraction)，用以定义新的函数。

例如：

 lambda  :   

这个定义可以应用到参数上，进行求值。

(lambda x : x + x)(5)
10

(lambda x : (lambda y : x + y))(1)(2)
3

y = 2
(lambda x : x + y)(4)
6

a = 1
(lambda a : a + 1)(2)
3

Beta 规则：

f = (lambda y : (lambda x : x + y))(5)
f(2)
7
f(1)
6

这个例子中, lambda x, y 将x 应用到 y 上. 其中 x 替换成 lambda x : x * x , y 替换成 3.

Beta的严格定义如下：

lambda x . B e = B[x := e] if free(e) /subset free(B[x := e]

这条规则是为了保证出现命名冲突的时候,先进行 alpha 替换,然后再应用 beta 简化.

在lambda演算中只有三种合法表达式（ λ-expression or λ-term）存在：

• 变量(Variable)

  形式： x

  变量名可能是一个字符或字符串，它表示一个参数（形参）或者一个值（实参）。

  e.g.  z   var

• 抽象(Abstraction)

  形式： λx.M

  它表示获取一个参数x并返回M的lambda函数，M是一个合法lambda表达式，且符号 λ 和 . 表示 绑定变量x于该函数抽象的函数体M 。 简单来说就是表示一个形参为x的函数M。

  e.g. 
  λx.y
 
λx.(λy.xy)
  

  前者表示一个 常量函数(constant function) ，输出恒为y与输入无关； 后者的输出是一个函数抽象 λy.xy ，输入可以是任意的lambda表达式。

  注意： 一个lambda函数的输入和输出也可以是函数。

• 应用(Application)

  形式： M N

  它表示将函数M应用于参数N，其中M、N均为合法lambda表达式。 简单来说就是给函数M输入实参N。

  e.g. 
  (λx.x) y
  , 
  (λx.x) (λx.x)
  
  前者表示将函数
  λx.x
  应用于变量
  y
  ，得到
  y
  ；
  后者表示将函数
  λx.x
  应用于
  λx.x
  ，得到
  λx.x
  。
  函数
  λx.x

  是一个 恒等函数(identity function) ，即输入恒等于输出，它可以用  I 来表示。

这时候可能就有人纳闷儿了， (λx.x) y  意义很明确，但 λy.xy 为什么代表函数抽象而不是将函数 λy.x 应用于 y 的函数应用呢？

为了消除类似的表达式歧义，可以多使用小括号，也有以下几个 消歧约定 可以参考：

• 一个函数抽象的函数体将尽最大可能向右扩展 ，即：

• λx.M N

• 代表的是一个函数抽象

• λx.(M N)

• 而非函数应用

• (λx.M) N

• 函数应用是左结合的 ，即：

• M N P

• 意为

• (M N) P

• 而非

• M (N P)

2. 自由变量和绑定变量

前面提到在函数抽象中，形参绑定于函数体，即形参是绑定变量，相对应地，不是绑定变量的自然就是自由变量。 咱们来通过几个例子来理解这个关系：

• λx.xy ： 其中x是绑定变量，y是自由变量；

• (λy.y)(λx.xy) ： 这个表达式可以按括号划分为两个子表达式M和N，M的y是绑定变量，无自由变量，N的x是绑定变量，y是自由变量且与M无关；

• λx.(λy.xyz) ： 这个表达式中的x绑定于外部表达式，y绑定于内部表达式，z是自由变量。

由于每个lambda函数都只有一个参数，因此也只有一个绑定变量，这个绑定变量随着形参的变化而变化。

我们用 FV 来表示一个lambda表达式中所有自由变量的集合，如：

FV(λx.xy) = {y}


FV((λy.y)(λx.xy)) = FV(λy.y) ∪ FV(λx.xy) = {y}


FV(λx.(λy.xyz)) = FV(λy.xyz) \ x = {x,z} \ x = {z}

3. 柯里化(Currying)

有时候我们的函数需要有多个参数，这太正常不过了，但是lambda函数只能有一个参数怎么办？ 解决这个问题的方法就是柯里化(Currying)。

柯里化是用于处理多参数输入情况的方法，我们已经知道 一个lambda函数的输入和输出也可以是函数 ，那么基于它，可以把多参数函数和单参数函数做以下转换：




currying: λx y.xy = λx.(λy.xy)

外层函数接受一个参数x返回一个函数 λy.xy ，这个返回函数（内层函数）又接受一个参数y返回xy，x绑定于外层函数，y绑定于内层函数，这样我们就在满足lambda函数只接受一个参数的约束下实现了多参数函数的功能，这就是柯里化，而 λx y.xy 称为 λx.(λy.xy) 的缩写，为了方便表达，后续会常常出现 λx y.xy 这样的书写方式，需要谨记它只是缩写写法。

lambda | λ 归约

我们已经知道了lambda表达式的基本定义与语法，下面将介绍如何对一个lambda表达式进行 归约(reduction) 。

1. beta | β 归约

对于一个函数应用 (λx.x) y ，它意为将函数应用 λx.x 应用于 y ，等价于 x[x:=y] ，即结果是 y 。 在这个过程中， (λx.x) y ≡ x[x:=y] 一步就叫做 beta归约 ， x[x:=y] ≡ y 一步称作 替换(substitution) ， [x:=y] 意为将表达式中的自由变量 x 替换为 y 。

• 替换

  形式：

• E[V := R]

• 意为将表达式 E 中的所有 “自由变量”  V 替换为表达式 R 。 对于变量 x,y 和lambda表达式 M,N ，有以下规则：

x[x := N]       ≡ N
y[x := N]       ≡ y //注意 x ≠ y
(M1 M2)[x := N] ≡ (M1[x := N]) (M2[x := N])
(λx.M)[x := N]  ≡ λx.M //注意 x 是绑定变量无法替换
(λy.M)[x := N]  ≡ λy.(M[x := N]) //注意 x ≠ y, 且表达式N的自由变量中不包含 y 即 y ∉ FV(N)

• beta归约

  形式：

• β: ((λV.E) E′) ≡ E[V := E′]

• 其实就是用实参替换函数体中的形参，也就是函数抽象应用(apply)于参数的过程啦，只不过这个参数除了是一个变量还可能是一个表达式。

细心的话可以注意到，替换规则中特别标注了一些 x ≠ y 或者 y ∉ FV(N) 等约束条件，它们的意义在于防止lambda表达式的归约过程中出现歧义。

比如以下过程：

(λx.(λy.xy)) y
= (λy.xy)[x:=y] //beta归约：注意 y ∈ FV(y) 不满足替换的约束条件
= λy.yy //替换：绑定变量y与自由变量y同名出现了冲突

可以看出在不满足约束条件的情况强行替换造成了错误的结果，那么对于这种情况该如何处理呢？ 那就需要 alpha转换 啦。

2. alpha | α 转换

这条规则就是说，一个lambda函数抽象在更名绑定变量前后是等价的，即：




α: λx.x ≡ λy.y

其作用就是解决绑定变量与自由变量间的同名冲突问题。

那么对于上面的那个错误归约过程就可以纠正一下了：

(λx.(λy.xy))y
= (λy.xy)[x:=y] //beta归约：注意 y ∈ FV(y) 不满足替换的约束条件
= (λz.xz)[x:=y] //alpha转换：因为绑定变量y将与自由变量x（将被替换为y）冲突，所以更名为z
= λz.yz

Perfect！ 这样对于lambda演算最基础的定义与归约规则已经介绍完毕了，虽然内容很简单，但是却很容易眼高手低，要试着练习喔。

3. eta | η 归约

灵活运用alpha和beta已经可以解决所有的lambda表达式归约问题，但是考虑这样一个表达式：

λx.M x

将它应用于任意一个参数上，比如 (λx.M x) N ，进行beta归约和替换后会发现它等价于 M N ，这岂不是意味着

λx.M x ≡ M

没错，对于形如 λx.M x ，其中表达式 M 不包含绑定变量 x 的函数抽象，它是冗余的，等价于 M ，而这就是 eta归约 ，它一般用于 清除lambda表达式中存在的冗余函数抽象 。

[ https://www.jianshu.com/p/ebae04e1e47c]

λ演算的语法与求值

语法(syntax)

因为λ演算研究的是函数的本质性问题，所以形式极其简单：

E = x           variables
  | λx. E       function creation(abstraction)
  | E1 E2       function application

上面的E称为λ-表达式(expressions)或λ-terms，它的值有三种形式：

• 变量(variables)。

• 函数声明或抽象(function creation/abstraction)。 需要注意是的，函数中 有且仅有 一个参数。 在λx. E中，x是参数，E是函数体

• 函数应用(function application)。 也就是我们理解的函数调用，但官方术语就叫函数应用，本文后面也会采用“应用”的叫法。

• λ表达式例子

上面就是λ演算的语法了， 下面看几个例子：

• 恒等函数:

λx.x

• 一个返回恒等函数的函数:

λy. (λx.x)

可以看到，这里的y参数直接被忽略了。

在使用λ演算时，有一些惯例需要说一下：

函数声明时，函数体尽可能的向右扩展。 什么意思呢，举个例子大家就明白了：

λx.x λy.x y z

应该理解为

λ x. (x (λy. ((x y) z)))

函数应用时，遵循左结合。 在举个例子：

x y z

为

(x y) z

• Currying：带有多个参数的函数

从上面我们知道，λ演算中函数只有一个参数，那两个参数的函数的是不是就没法表示了呢，那λ演算的功能也太弱了吧，这就是λ的神奇之处，函数在本质上只需要一个参数即可。 如果想要声明多个参数的函数，通过currying技术即可。 下面来说说currying。




λx y. (+ x y)  

=>

λx. (λ y. + x y)

上面这个转化就叫currying，它展示了，我们如何实现加法（这里假设+这个符号已经具有相加的功能，后面我们会讲到如何用λ表达式来实现这个+的功能）。

其实就是我们现在意义上的闭包——你调用一个函数，这个函数返回另一个函数，返回的函数中存储保留了调用函数的变量。 currying是闭包的鼻祖。

如果用Python来表示就是这样的东西：

def add(x):
    return lambda y: x+y

add(4)(3) //return 7

如果用函数式语言clojure来表示就是：

(defn add [x]
  (fn [y] (+ x y)))

((add 4) 3) ;return 7

• 求值(evaluation)

在λ演算中，有两条求值规则：

• Alpha equivalence( or conversion )

• Beta reduction

Alpha equivalence

Beta reduction

考虑下面这个函数应用：

(λ y. (λ x. x) y) E

evaluation-order

可以先计算内层的函数调用再计算外层的函数调用，反之也可。

根据Church–Rosser定理，这两种方法是等价的，最终会得到相等的结果，如上图最后都得到了E。

但如果我们要自己实现一种语言，就有可能必选二选其一，于是有了下面两种方式：

• Call by Value(Eager Evaluation及早求值)

也就是上图中的inner，这种方式在函数应用前，就计算函数参数的值。 如：

(λy. (λx. x) y) ((λu. u) (λv. v))
(λy. (λx. x) y) (λv. v)
(λx. x) (λv. v)
λv. v

• Call by Name (Lazy Evaluation惰性求值)

也就是上图中的outer，这种方式在函数应用前，不计算函数参数的值，直到需要时才求值。 如：

(λy. (λx. x) y) ((λu. u) (λv. v)) --->
(λx. x) ((λu. u) (λv. v)) --->
(λu. u) (λv. v) --->
λv. v

值得一提的是，Call by Name这种方式在我们目前的语言中，只有函数式语言支持。

• λ演算与编程语言的关系

在λ演算中只有函数（变量依附于函数而有意义），如果要用纯λ演算来实现一门编程语言的话，我们还需要一些数据类型，比如boolean、number、list等，那怎么办呢？

λ的强大又再一次展现出来，所有的数据类型都能用函数模拟出来，秘诀就是 不要去关心数据的值是什么，重点是我们能对这个值做什么操作 ，然后我们用合法的λ表达式把这些操作表示出来即可。

听上去很些云里雾里，但看了我下面的讲解以后，你会发现，编程语言原来还可以这么玩，希望我能把这部分讲清楚些，个人感觉这些东西太funny了 🙂

好了，我们先从最简单——boolean的开始。

• Boolean

好，知道了能对boolean的操作，下面就用λ表达式来定义它：

true = λx. λy. x
false = λx. λy. y
if E1 then E2 else E3 = E1 E2 E3

来简单解释一下，boolean就是这么一个函数，它有两个参数（通过currying实现），返回其中一个。 下面看个例子：

if true then u else v

可以写成   

(λx. λy. x) u v 
(λy. u) v  
u

• 自然数

好，知道了能对number的操作，下面就用λ表达式来定义它：

0 = λf. λs. s
1 = λf. λs. f s
2 = λf. λs. f (f s)
......

解释一下，利用currying，我们知道上面的定义其实相当于一个具有两个参数的函数： 一个函数f，另一个是起始值s，然后不断应用f实现遍历数字的操作。 先不要管为什么这么定义，看了下面我们如何定义加法乘法的例子你应该就会豁然开朗了：

首先我们需要定义一个后继函数(The successor function)：

succ n = λf. λs. f (n f s)

例子—— 1+1 ：

add 1 1
1 succ 1
succ 1

λf. λs. f (f s) 2

例子， 2*2 ：

mult 2 2 --->
2 (add 2) 0 --->
(add 2) ((add 2) 0) --->
2 succ (add 2 0) --->
2 succ (2 succ 0) --->
succ (succ (succ (succ 0))) --->
succ (succ (succ (λf. λs. f (0 f s)))) --->
succ (succ (succ (λf. λs. f s))) --->
succ (succ (λg. λy. g ((λf. λs. f s) g y)))

succ (succ (λg. λy. g (g y))) --->...... ---> λg. λy. g (g (g (g y))) = 4

如果想要判断一个数字是否为0，可以这么定义 

iszero n = n (λb. false) true

• λ-演算与图灵机

λ-演算与图灵机是等价：

在一个不限时间、不限资源的前提下，图灵机通过前进、后退、跳转、输出1或0这四个简单的命令，在一条无限长的纸带上执行事先编好的程序。

根据目前的证明，图灵机是宇宙间最强大的机器（理想中的），我们现有的计算机都没有超过图灵机。

如果说一个语言是图灵完备的，就是说，世界上任何可计算性问题，它都能解决。

我们现有的命令式语言，如C、Java等就是以图灵机为基础的。 如果说这些语言图灵完备，需要具有以下两个特征：

• 有if、goto语句（或while、for之类的循环语句）

• 能够进行赋值操作（也就是改变内存状态）

与图灵机对应，λ-演算奠定了函数式编程语言的基础，如Lisp、Haskell等，如果说这些函数式语言图灵完备，需要有以下两个特征：

• 能够进行函数抽象（也就是函数定义）

• 能够进行函数应用（也就是函数调用）

鉴别一个语言是不是函数式的标准是： 这个语言能否在运行时创建函数，如果能，就是函数式语言。

λ演算的精髓之处，就是通过一套形式化的规则来描述“计算”。 要知道，这里面的很多东西我们现如今想当然的接受了，但如何让笨重的计算机来理解这个世界呢，这就需要这些形式化的规则来指导了。

我们现在的编程语言趋向于多范式化，像java8，scala，kotlin，python、ruby等等。 因为纯函数式语言不能改变变量状态，这个恐怕在很多场合不适用吧。 纯OO也不好，因为我们大多数程序员，都是用OO的语言来写过程式的程序，看看大家有多少Helper类，Util类就明白了。