四元数的两个公式

给出四元数两个常见公式的比较直接的推导。

本文会较多的用到四元数的乘法公式

1. 球面插值公式

从 到 的球面插值公式为

其中

比较常见的办法是利用三维向量的球面插值类比得到，其实可以直接算出来。

从 状态转到 状态的转角为 ，转轴为 ，那么有

按照定义插值公式应该为

按照四元数性质有

可得

注意 ，利用四元数乘法可得

所以 ，带回得到

2.四元数的导数和角速度的关系

我在 《基于物理的建模与动画》的翻译 中给出了另一种

考虑刚体的定点转动，那么刚体上一点的位置随时间变化为

已知

两边求导可得

利用这个关系代入对 的求导，化简可得

注意 这个四元数正好与 互为共轭，两个互为共轭的四元数之和为零，只有一种可能就是这个四元数的实部为零，可以表示为一个三维向量，这里记为 ，利用四元数的乘法公式可知

而已知

考虑到任意性只有 ，进而